第1章 迷子のビットと数の回路

ビットの街の入口には、古い通信塔が立っていた。塔の表面には小さなランプが無数に並び、普段なら街に入るすべての信号を0と1の光に変えて送り出している。だが、その日は違った。塔の中央には赤い警告が浮かんでいた。

Gate 13：信号変換不能

Bitは小さなアンテナを震わせながら、ナナの前に飛び出してきた。

「入口ゲートが止まりました。13番信号が読めません」

ナナは首をかしげた。

「13って、13でしょ？ そのまま送ればいいんじゃないの？」

Bitは困ったように通信ランプを点滅させた。

「人間には13と読めます。でも、この街の回路は0と1しか読みません。13を、回路が読める形に変えないといけません」

ナナがゲートの前に近づくと、5つのランプが横に並んでいた。

16   8   4   2   1
□    □   □   □   □

「これ、何？」

「桁の重みです。2進数では、右から1、2、4、8、16……と重みが増えます。13を作るには、必要な重みのランプだけを点けます」

ナナは最初、13に近そうな16のランプを押そうとした。その瞬間、塔の奥から低い声が響いた。

> 考えるな。大きい数字を押せ。早く選べ。

ナナの指が止まる。アイリが背後から現れ、黒いジャケットの袖を払った。

「それはノイズ。焦らせる声には従わない。数字は分解して読む」

アイリは空中に式を書いた。

13 = 8 + 4 + 1

ナナは16のランプを見た。

「13に16は入らない。だから16は0」

次に8を見る。

「13に8は入る。残りは5。だから8は1」

次に4。

「5に4は入る。残りは1。だから4は1」

次に2。

「1に2は入らない。だから2は0」

最後に1。

「1に1は入る。残り0。だから1は1」

ランプはこうなった。

16   8   4   2   1
0    1   1   0   1

Bitが叫ぶ。

「01101。先頭の0を省けば、1101です」

ナナはゲートに入力した。

13₁₀ = 1101₂

通信塔の赤い警告が青に変わる。しかし、ゲートは完全には開かなかった。塔の下部から古いログが浮かび上がった。

過去ログ：
「2進数が分からない」
「どこから読めばいいのか分からない」
「解説を見ても、なぜ1101になるのか分からない」

ナナは胸の奥が少し重くなった。

「これ、誰のログ？」

Bitは答えなかった。アイリも、一瞬だけ目を伏せた。

「今は進もう。だけど覚えておいて。分からなかった人の記録は、ここに残っている」

ゲートが音を立てて開いた。ナナはノートに書いた。

数字は、重みに分ければ読める。
焦ったら、右から 1,2,4,8。

その文字が光った瞬間、通信塔の一部が復旧した。だが塔の影には、まだ黒いノイズが残っていた。

13番ゲートを開いた直後、通信塔の上部から細い光が空へ伸びた。青く復旧したはずの信号は、街の上空で一度だけ震え、次の表示へと変わった。

入力信号：11010₂
要求：10進数へ復元せよ

ナナは眉を寄せる。

「さっきは13を2進数にしたよね。今度は逆？」

Bitが頷いた。

「はい。回路が受け取った0と1の信号を、人間が読める数へ戻します。通信塔は、変換だけでなく検算も要求しています」

塔の側面から巨大なレーダー盤がせり上がった。

16   8   4   2   1
 1   1   0   1   0

その下には、古い誤答ログが浮かんだ。

誤答ログ01：11010₂ = 1 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3
誤答ログ02：左から1,2,4,8,16を付けて 11
誤答ログ03：0の桁まで足して 31

ナナは思わず声を出した。

「全部、なんか分かる気がする……」

アイリは静かに言った。

「正解だけを見れば簡単に見える。でも、どこで間違えるかを見ないと、次も同じ場所で止まる」

黒い影がレーダー盤の中央を走った。

> 戻す必要はない。選択肢の中から、それっぽい数字を選べ。

Bitの通信ランプが一瞬暗くなる。

「Nullのノイズです。正解率だけを上げようとする声です」

ナナは第1話で覚えたことを思い出した。

重みは右から 1,2,4,8,16...

右から重みを書く。

16  8  4  2  1
 1  1  0  1  0

「1の桁だけ足せばいいんだよね」

ナナは声に出して足した。

16 + 8 + 2 = 26

答えは26。レーダー盤が青く光ったが、まだ停止しない。

この答えを検算せよ。
26₁₀ を2進数へ戻せ。

ナナは少し笑った。

「戻して同じになればいいんだ」

26 = 16 + 8 + 2
16  8  4  2  1
 1  1  0  1  0

元の信号 11010₂ と同じ。 レーダー盤の古い誤答ログが一つずつ白い光に変わって消えた。

だが、消える直前、最後のログだけが言葉を残した。

「解説を読めば分かる。でも自分では戻せなかった」

ナナは黙ってノートに書いた。

2進数は、1の桁だけ足す。
変換したら、必ず戻す。

逆読みレーダーが復旧した翌朝、ビットの街の北区画で小さな爆発が起きた。ナナが駆けつけると、そこには銀色の加算装置があった。装置の上には2本の入力ケーブルが伸びている。

入力A：1011₂
入力B：0110₂

中央には赤い警告が点滅していた。

加算結果：異常
桁上がり処理：停止

Bitが震えながら説明する。

「この装置は、街のエネルギーを足し合わせる回路です。でも、1と1を足したときの桁上がりが処理できなくなっています」

ナナは首をかしげた。

「1 + 1 って、2じゃないの？」

「10進数なら2です。でも2進数では、使える数字が0と1だけです。だから、1+1は2ではなく、桁上がりして10になります」

アイリが空中に基本ルールを書いた。

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

ナナは右端から計算を始める。

  1011
+ 0110
------

一番右は 1+0=1。 次の桁は 1+1=10。下に0を書き、左へ1を繰り上げる。装置の中で小さな火花が飛んだ。

次の桁は、

0 + 1 + 繰り上がり1 = 10

また0を書き、左へ1を繰り上げる。 最後の桁は、

1 + 0 + 繰り上がり1 = 10

0を書き、さらに左へ1を繰り上げる。結果は、

10001₂

その瞬間、加算装置は青く光った。 だが、すぐに黒いノイズが割り込んだ。

> 面倒だ。10進数に直して足せ。2進数の桁上がりなど覚える必要はない。

ナナは一瞬迷った。

「10進数に直して足すのも、ありじゃないの？」

アイリは頷いた。

「検算としてはあり。でも、2進数の加算そのものを読めないと、CPUの演算、補数、オーバーフローで詰まる。ここは逃げちゃだめ」

装置の横には過去ログが焼き付いていた。

誤答ログ：
1011 + 0110 = 1111
理由：1+1の桁上がりを無視

ナナは胸が少し痛んだ。この間違いは、自分もやりそうだった。

「答えだけじゃなくて、どこで繰り上がったかを残さないといけない」

Traceが小さな紙テープを吐き出した。

carry: 0 → 1 → 1 → 1

最後に、ナナは検算した。

1011₂ = 11
0110₂ = 6
11 + 6 = 17
10001₂ = 17

一致。加算装置の火花は、暴走ではなく規則正しい光に変わった。 ただし装置の奥には、もう一つ警告が残っていた。

固定長4bitでの結果：0001
上位桁あふれを検出

ナナは表情を曇らせた。

「え、10001なのに、4bitだと0001になるの？」

アイリは真剣な顔で答えた。

「それが、次に来る危険。桁あふれ、オーバーフロー。今はまだ入口だけ覚えておいて」

加算装置の火花が収まったころ、街の東側にある記憶倉庫から緊急信号が届いた。 倉庫の扉には、赤い文字が走っている。

容量不足
保存予定：画像データ
必要容量：計算不能

ナナたちが駆けつけると、倉庫の中には小さな箱が無数に並んでいた。箱の一つ一つには、0か1が書かれている。

「これ、全部bit？」

Bitが頷いた。

「はい。1つの箱が1bitです。0か1のどちらかを保存できます」

ナナは棚の奥を見た。8つのbit箱が、ひもで一つにまとめられている。

[0][1][1][0][1][0][0][1]

Traceが紙テープを吐き出す。

8 bit = 1 byte

ナナは声に出した。

「8bitで1byte。じゃあ、byteは8個分のbit箱ってこと？」

「その通りです」

そこへ、倉庫管理AIが壊れた声で告げた。

画像保存要求：
横300画素
縦200画素
1画素16bit
必要容量をbyteで求めよ

ナナはすぐに言った。

「300×200で60,000画素。だから60,000byte？」

その瞬間、倉庫の床が赤く光った。 倉庫の奥から黒いノイズが這い上がる。

> 画素数が分かれば十分だ。単位など見なくていい。

アイリが鋭く言った。

「違う。1画素が何bitかを見ていない」

ナナはハッとして問題文を読み直した。

1画素16bit

「1つの画素に16bit必要。だから、60,000画素に16bitを掛ける」

60,000 × 16 = 960,000 bit

Bitが続ける。

「でも聞かれているのはbyteです」

ナナは、倉庫の8bit箱を見た。

8bit = 1byte

だから、

960,000 ÷ 8 = 120,000 byte

倉庫の赤い光が一部だけ青に戻る。 しかし、扉はまだ閉じたままだった。

次の警告が表示される。

誤答候補を分類せよ。
ア 60,000 byte
イ 120,000 byte
ウ 960,000 byte
エ 1,920,000 byte

ナナは唇を噛んだ。

「アは画素数だけ。ウはbitのまま。エは……8で割るところを掛けた？」

アイリが頷く。

「そう。容量問題は、数字より単位を見る。bitかbyteか。ここを外すと、8倍ずれる」

倉庫の床に、過去のログが浮かんだ。

「計算は合っていた。でも単位を見落とした」
「byteを聞かれているのにbitで答えた」
「8で割るか掛けるか、最後に迷った」

ナナはそのログを見て、静かにノートを開いた。

容量問題：
個数 × 1個あたりbit
byteなら ÷8

Traceの紙テープが、今度は青く印字された。

8ビット倉庫の奥に開いた通路は、まるで宝石箱の中のようだった。壁には小さな札が並び、そこには0と1だけでなく、A、B、C、D、E、Fの文字が刻まれていた。

A3
2D
FF
0F

ナナは足を止めた。

「これ、数字なの？ 文字なの？」

アイリが答える。

「16進数。0から9までの数字だけでは足りないから、10から15をAからFで表す」

Bitが壁の札を照らした。

A=10
B=11
C=12
D=13
E=14
F=15

ナナは顔をしかめた。

「Fが15……。じゃあ、16は？」

「16進数では、16は 10₁₆ になる」

その瞬間、宝石箱の中央に問題が浮かんだ。

2進数 10111100 を16進数に変換せよ

Traceが紙テープを出した。

右から4桁ずつ区切る

ナナは2進数を区切った。

1011 1100

左の 1011 は、

8 + 2 + 1 = 11 = B

右の 1100 は、

8 + 4 = 12 = C

だから、

10111100₂ = BC₁₆

宝石の一つが青く光った。 だが、次の札が現れる。

2進数 101101 を16進数に変換せよ

ナナは左から区切ろうとした。

1011 01

その瞬間、黒い影が耳元で囁いた。

> 左から読めばいい。見たまま切れ。

アイリが即座に止めた。

「違う。桁の重みは右端が基準。16進数にするときも右から4桁」

ナナは区切り直した。

10 1101

左側が2桁しかない。Bitが言う。

「不足している左側は0で補います」

0010 1101

0010 = 2
1101 = D

したがって、

101101₂ = 2D₁₆

宝石箱の奥で、古いログが赤く光った。

誤答ログ：
101101₂ = B1
理由：左から4桁で区切った

ナナはログを見て、静かに頷いた。

「これも、分かる。左から切りたくなる。でも右からなんだ」

最後に、アイリが逆変換を出した。

A3₁₆ を2進数に戻せ

ナナは対応表を見た。

A = 1010
3 = 0011

だから、

A3₁₆ = 10100011₂

「3は0011。4bitにしないといけないんだね」

アイリは微笑んだ。

「そう。16進1桁は、必ず4bit」

宝石箱のすべての札が整列した。 だが、奥の棚には 0x10 と書かれた札が残っている。

ナナはそれを見てつぶやいた。

「また10……でも今度は、普通の10じゃない気がする」

Bitが頷いた。

「次は、基数表記の迷路です」

16進メモリの宝石箱を抜けると、細い通路の壁に無数の札が並んでいた。

10
10₂
10₁₀
10₁₆
0x10

ナナは札を見て、少し顔をしかめた。

「全部10に見えるんだけど……同じ場所？」

アイリは首を振った。

「同じに見えるから危ない。数字は、どの基数で書かれているかによって値が変わる」

Bitが一枚目の札を指した。

10₂

「これは2進数です。値は2です」

ナナは計算する。

10₂ = 1×2 + 0 = 2₁₀

次にアイリが 10₁₀ を指す。

「これは普通の10進数。値は10」

そして最後に 0x10 の札を指した。

「プログラムや技術文書では、0x が付くと16進数を表すことが多い。だから 0x10 は16進数の10」

ナナは嫌な予感がした。

10₁₆ = 1×16 + 0 = 16₁₀

「つまり、同じ10でも、2、10、16になる？」

「そう」

その瞬間、通路の奥にある扉が開きかけたが、すぐに閉じた。扉には新しい問題が表示されている。

次のうち、最も大きい値を持つアドレス札を選べ。
ア：1010₂
イ：0x0B
ウ：12₁₀
エ：1001₂

黒いノイズが天井から滲んだ。

> 見た目で選べ。桁が多いものが大きい。

ナナは首を振った。 全部を10進数へ直す。

1010₂ = 8 + 2 = 10
0x0B = B₁₆ = 11
12₁₀ = 12
1001₂ = 8 + 1 = 9

最大は12。答えはウ。

扉が開く。アイリは満足そうに笑った。

「基数の問題で大事なのは、見た目じゃない。全部同じ基準に戻して比べること」

ナナは通路の札をもう一度見た。さっきまで全部同じに見えていた数字が、今は別々の意味を持つ記号に見える。

Bitが小さく言った。

「FEの選択肢は、この混同を狙ってきます」

ナナはノートに書いた。

数字を見る前に、基数を見る。
比較するときは、全部10進数に戻す。

その言葉を記録した瞬間、通路の札が正しく並び替わった。 アドレスの迷路は、もうただの数字の羅列ではなかった。基数を読める者だけが進める地図だった。

アドレス札の通路を抜けると、ナナたちは小さな部屋に入った。中央には透明な検算ゲートが立っている。ゲートの上には、壊れた解答ログが浮かんでいた。

10進数 46 を2進数に変換せよ。
解答候補:
ア 101101
イ 101110
ウ 101111
エ 111010

Bitが部屋の説明を読み上げる。

「ここは変換ミス修正室です。正解を選ぶだけでは通れません。なぜ他が違うかを説明する必要があります」

ナナは少し面倒そうにした。

「正解が分かればいいんじゃないの？」

アイリが首を振った。

「過去問で安定して点を取るには、それじゃ弱い。選択肢は、よくあるミスで作られている。ミスの形を読めば、初見問題でも消せる」

ナナは46を重みで分解した。

32 16 8 4 2 1

46には32が入る。残り14。 16は入らない。 8は入る。残り6。 4は入る。残り2。 2は入る。残り0。 1は入らない。

32 16 8 4 2 1
 1  0 1 1 1 0

答えは、

101110₂

つまりイ。 ゲートはまだ開かない。

他の選択肢がなぜ違うか説明せよ。

ナナは候補を一つずつ10進数へ戻した。

ア 101101 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45
イ 101110 = 32 + 8 + 4 + 2 = 46
ウ 101111 = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47
エ 111010 = 32 + 16 + 8 + 2 = 58

アイリが言う。

「アとウは、最後の1bitを間違えた候補。エは16の桁を誤ってONにした候補だね」

ナナは目を細めた。

「選択肢って、ランダムじゃないんだ」

「そう。作問者は、受験者のミスを知っている」

黒いノイズがゲートの裏で揺れた。

> 正解だけを選べばいい。理由など不要だ。

ナナは今度は迷わなかった。

「違う。理由が言えないと、次の問題でまた間違える」

ゲートに青い線が走る。

正解だけでなく、誤答の理由を説明できました。

扉が開いた。

Bitは嬉しそうに跳ねた。

「これで、ただの変換ではなく、検算による選択肢消去ができるようになりました」

ナナはノートに書く。

正解を出す。
候補を戻す。
誤答の理由を言う。

この部屋で学んだのは、数字の変換だけではなかった。 試験で失点しないための、冷静な確認の型だった。

通信塔、レーダー盤、加算装置、8ビット倉庫、16進メモリ、アドレス札の通路、変換ミス修正室。すべての復旧を終えたナナたちは、ビットの街の入口へ戻ってきた。

だが、最初に開いた13番ゲートの上には、まだ黒いノイズが残っていた。ノイズは、これまで学んだ数字を混ぜ合わせるように、空中へ問題を投げつけた。

試験1：10進数 29 を2進数にせよ。
試験2：11001010₂ を16進数にせよ。
試験3：0x1F を10進数にせよ。
試験4：1画素24bit、横10×縦10画素の画像容量をbyteで求めよ。

Bitは不安そうにナナを見た。

「これは章末復旧試験です。ここを通らないと、次の補数区画へ進めません」

ナナは深呼吸した。最初に29を分解する。

16 8 4 2 1
29 = 16 + 8 + 4 + 1

だから、

29₁₀ = 11101₂

次に、11001010₂ を右から4桁で区切る。

1100 1010

1100 = C
1010 = A

だから、

11001010₂ = CA₁₆

次は 0x1F。

1F₁₆ = 1×16 + 15 = 31

最後に容量計算。

10×10 = 100画素
1画素 = 24bit
100×24 = 2400bit
2400÷8 = 300byte

4つの答えを入力すると、ゲートが青く光った。 しかし、ノイズは最後の抵抗をした。

11001010₂ を16進数にしたものはどれか。
ア C6
イ CA
ウ AC
エ 0xAC

ナナは表を書いた。

11001010₂ = 1100 1010 = C A

候補を戻す。

C6 = 1100 0110
CA = 1100 1010
AC = 1010 1100
0xAC = 1010 1100

「正解はイ。ウとエは前後が逆。アは後半が違う」

ゲートが大きく開き始めた。 だが、黒いノイズが人の声のように歪んだ。

> 正解率：上昇 > 理解率：未測定 > 推奨：暗記モードへ移行

ナナは初めて、その声に怒りを覚えた。

「違う。私は、選びたいんじゃない。分かって選べるようになりたい」

アイリが静かに頷いた。

「それが、この街の入口を本当に開く条件」

Traceがこれまでの記録を並べた。

重みを書く。
右から読む。
単位を見る。
4bitで区切る。
基数を見る。
候補を戻す。
誤答理由を言う。

Bitの通信ランプが、これまでで一番明るく光った。

「第1章、復旧完了。次は、負の数をどう表すか。符号の影と補数の迷宮です」

ゲートの向こうには、反転したビット列が影のように揺れていた。 そして、その影の中で、Bitによく似た黒い小さなロボットが振り返った。

0011 → 1100 → 1101