全体音量
すべての音にかかるマスター音量です。
今回予告
通信塔の13番信号が止まる
赤い警告、読めない13。ナナは0と1だけで開く入口へ向かう。
入口ゲートが止まりました。13番信号が読めません
赤い警告
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基礎理論 / 物語
第1話 13番ゲートの沈黙
FE模試に失敗したナナは本試験まで30日、M-07の13番信号を理由ごと救うため13番ゲートへ来た。ビットの街の入口には、古い通信塔が立っていた。塔の表面には小さなランプが無数に並び、普段なら街に入るすべての信号を0と1の光に変えて送り出している。だが、その日は違った。塔の中央には赤い警告が浮かんでいた。
目標
この話でできるようになること
12進数の重みを説明できる
210進数を2進数へ変換できる
32進数の重みを右から書ける
410進数13を2進数1101に変換できる
5変換後に10進数へ戻して検算できる
6誤答がなぜ違うか説明できる
場面ログ 会話で進んだ場面を確認する
ビットの街の入口には、古い通信塔が立っていた。塔の表面には小さなランプが無数に並び…
ビットの街の入口には、古い通信塔が立っていた。塔の表面には小さなランプが無数に並び、普段なら街に入るすべての信号を0と1の光に変えて送り出している。だが、その日は違った。塔の中央には赤い警告が浮かんでいた。
Gate 13：信号変換不能Bitは小さなアンテナを震わせながら、ナナの前に飛び出してきた。
「入口ゲートが止まりました。13番信号が読めません」
ナナは首をかしげた。
「13って、13でしょ？ そのまま送ればいいんじゃないの？」
Bitは困ったように通信ランプを点滅させた。
「人間には13と読めます。でも、この街の回路は0と1しか読みません。13を、回路が読める形に変えないといけません」
ナナがゲートの前に近づくと、5つのランプが横に並んでいた。
16 8 4 2 1
□ □ □ □ □「これ、何？」
「桁の重みです。2進数では、右から1、2、4、8、16……と重みが増えます。13を作るには、必要な重みのランプだけを点けます」
ナナは最初、13に近そうな16のランプを押そうとした。その瞬間、塔の奥から低い声が響いた。
> 考えるな。大きい数字を押せ。早く選べ。
ナナの指が止まる。アイリが背後から現れ、黒いジャケットの袖を払った。
「それはノイズ。焦らせる声には従わない。数字は分解して読む」
アイリは空中に式を書いた。
13 = 8 + 4 + 1ナナは16のランプを見た。
「13に16は入らない。だから16は0」
次に8を見る。
「13に8は入る。残りは5。だから8は1」
次に4。
「5に4は入る。残りは1。だから4は1」
次に2。
「1に2は入らない。だから2は0」
最後に1。
「1に1は入る。残り0。だから1は1」
ランプはこうなった。
16 8 4 2 1
0 1 1 0 1Bitが叫ぶ。
「01101。先頭の0を省けば、1101です」
ナナはゲートに入力した。
13₁₀ = 1101₂通信塔の赤い警告が青に変わる。しかし、ゲートは完全には開かなかった。塔の下部から古いログが浮かび上がった。
過去ログ：
「2進数が分からない」
「どこから読めばいいのか分からない」
「解説を見ても、なぜ1101になるのか分からない」ナナは胸の奥が少し重くなった。
「これ、誰のログ？」
Bitは答えなかった。アイリも、一瞬だけ目を伏せた。
「今は進もう。だけど覚えておいて。分からなかった人の記録は、ここに残っている」
ゲートが音を立てて開いた。ナナはノートに書いた。
数字は、重みに分ければ読める。
焦ったら、右から 1,2,4,8。その文字が光った瞬間、通信塔の一部が復旧した。だが塔の影には、まだ黒いノイズが残っていた。
本文入口ゲートが止まりました。13番信号が読めません
本文13って、13でしょ？ そのまま送ればいいんじゃないの？
本文人間には13と読めます。でも、この街の回路は0と1しか読みません。13を、回路が読める形に変えないといけません
赤い警告が入口を塞ぐ
通信塔の中央には、赤い警告が浮かんでいる。Gate 13 は止まり、街の回路は「13」という人間の数字をまだ読めない。
重みランプが床に並ぶ
ゲート前の床に、16、8、4、2、1 の重みランプが並ぶ。13を作るには、必要な重みだけを点けなければならない。
1101がゲートを青く変える
ナナは16を消し、8、4、1を点ける。ランプは 0 1 1 0 1 を示し、先頭の0を省いた 1101 が13番信号の形になる。
解法の要点
本当に必要な手順、例題、誤答の直し方だけ確認する
学習導入
この話で学ぶのは、10進数を2進数に変換する方法です。 初学者は2進数を「0と1の暗号」のように見てしまうが、実際は各桁の重みを使って数を表す方法です。
10進数では右から 1,10,100,1000... と重みが増える。 2進数では右から 1,2,4,8,16... と重みが増える。
解き方の手順
2進数とは、0と1だけで数を表す方法です。 2進数では1の次に桁上がりして 10₂ になる。ここで注意すべきなのは、10₂ は10進数の10ではなく、10進数の2であることです。
10₂ = 1×2 + 0×1 = 2₁₀10進数を2進数へ変換するには、目標値を2の重みの足し算で作ります。13なら、
13 = 8 + 4 + 1これを重み表に置く。
8 4 2 1
1 1 0 1よって、
13₁₀ = 1101₂先頭に0が付いて 01101₂ となっても、通常の基数変換では値は変わらない。ただし固定長bitでは先頭の0にも意味が出るため、第2章で改めて扱う。
解法手順
- 目標の10進数を書く
- その数以下で使えそうな2の重みを書く
- 大きい重みから順に見る
- その重みが残りの数以下なら1を書く
- その重みを残りから引く
- 入らないなら0を書く
例題
問題
10進数 13 を2進数で表したものはどれか。
| 選択肢 | 値 |
|---|---|
| ア | 1011₂ |
| イ | 1101₂ |
| ウ | 1110₂ |
| エ | 1001₂ |
解説
13 = 8 + 4 + 1
8 4 2 1
1 1 0 1したがって 1101₂。
答え
イ
検算
1101₂ = 8 + 4 + 1 = 13なぜ他の選択肢が違うか
| 選択肢 | 10進数に戻す | 不正解理由 |
|---|---|---|
ア 1011₂ | 11 | 4の桁が不足 |
イ 1101₂ | 13 | 正しい |
ウ 1110₂ | 14 | 2の桁が余分 |
エ 1001₂ | 9 | 4の桁が不足 |
例
答え: イ
誤答パターン
- 左から1,2,4,8と読んでしまう
- 重みは必ず右から書く。
- 大きすぎる重みを使う
- 13を作るのに16は使えない。目標値を超える。
- 残りを引かずに進める
- 13-8=5, 5-4=1 のように残りを書く。
過去問接続
科目Aで直接効きます。典型的には「10進数を2進数で表したものはどれか」「あるbit列が表す値はどれか」と問われます。 科目Bにも、表を書いて値を追う習慣として間接的に効きます。
図で確認
試験中に自分で再現できる形へ落とし込む
binary
重みランプ
使う重みをONにして、ONの合計が目標値になるか確認します。
16
OFF
8
ON
4
ON
2
OFF
1
ON
目標値 13 = 8 + 4 + 1 / 01101
イ 例題の答え手を動かす
読み終える前に、短い演習で理解を固定する
進数で使える数字は何か。
- 問題文の条件を写す
- 図・表・重み・真理値のどれで読むか決める
- 答えを戻して検算する
進数の重みは右から何、何、何、何か。
- 問題文の条件を写す
- 図・表・重み・真理値のどれで読むか決める
- 答えを戻して検算する
`10₂` は10進数でいくつか。
- 問題文の条件を写す
- 図・表・重み・真理値のどれで読むか決める
- 答えを戻して検算する
先頭の0は普通の基数変換では値を変えるか。
- 問題文の条件を写す
- 図・表・重み・真理値のどれで読むか決める
- 答えを戻して検算する
旅のメモ
次に残すメモ
12進数の重みを右から書ける
210進数13を2進数1101に変換できる
3変換後に10進数へ戻して検算できる
科目Aで直接効きます。典型的には「10進数を2進数で表したものはどれか」「あるbit列が表す値はどれか」と問われます。 科目Bにも、表を書いて値を追う習慣として間接的に効きます。
確認
この話で持ち帰ること
12進数の重みを右から書ける
210進数13を2進数1101に変換できる
3変換後に10進数へ戻して検算できる
4誤答がなぜ違うか説明できる