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基礎理論 / 解法
第3話 桁上がりの火花
逆読みレーダーが復旧した翌朝、ビットの街の北区画で小さな爆発が起きた。ナナが駆けつけると、そこには銀色の加算装置があった。装置の上には2本の入力ケーブルが伸びている。 中央には赤い警告が点滅していた。 Bitが震えながら説明する。 「この装置は、街のエネルギーを足し合わせる回路です。でも、1と1を…
Recap
ここまでの3行
- 第1話 13番ゲートの沈黙 FE模試に失敗したナナは本試験まで30日、M-07の13番信号を理由ごと救うため13番ゲートへ来た。ビットの街の入口には、古い通信塔が立っていた。塔の表面には小さなランプが無数に並び、普段な…
- 第2話 逆読みレーダー 番ゲートを開いた直後、通信塔の上部から細い光が空へ伸びた。青く復旧したはずの信号は、街の上空で一度だけ震え、次の表示へと変わった。 ナナは眉を寄せる。 「さっきは13を2進数にしたよね。今度…
- 2進数・10進数・16進数を相互変換できる、bit/byteの単位を使って容量計算できる、誤答選択肢を検算し、なぜ違うか説明できる、後続の補数・論理・アルゴリズムに進むための表作成習慣を得る
数字の図解
carry盤
- 目標
- carry: 1 1 1 1 0 1 1 + 0 1 1 0 --------- 1 0 0 0 1 UIでは右端から1列ずつ計算させ、1+1 の列で火花を出す。固定長4bitモードでは左端…
- 読む順
- carry盤 → 2進筆算パネル → carry: 1 1 1 → 1 0 1 1
- 根拠
- 答えは イ。検算まで同じ図で戻します。
学習テーマAnalysis Theme
この話で学ぶのは、2進数の加算です。 コンピュータは内部で2進数を使って計算するため、1+1=10₂ と繰り上がりを理解する必要があります。
基礎理論 / 解法
逆読みレーダーが復旧した翌朝、ビットの街の北区画で小さな爆発が起きた。ナナが駆けつけると、そこには銀色の加算装置があった。装置の上には2本の入力ケーブルが伸びている。 中央には赤い警告が点滅していた。 Bitが震えながら説明する。 「この装置は、街のエネルギーを足し合わせる回路です。でも、1と1を…
解説動画Lesson Feed
Chapter 1 Episode 3 lesson explainer
Bit / 決意
この装置は、街のエネルギーを足し合わせる回路です。でも、1と1を足したときの桁上がりが処理できなくなっています
ナレーター
火花の加算装置
北区画の加算装置が火花を散らす。1と1を足すときの桁上がりが、回路を止めている。
ナナ / 困惑
1 + 1 って、2じゃないの？
ナナ / 決意
10進数なら2です。でも2進数では、使える数字が0と1だけです。だから、1+1は2ではなく、桁上がりして10になります
ナレーター
1 + 1 は 10₂
2進数で使える数字は0と1だけ。1+1は2を書かず、0を書いて左へ1を繰り上げる。
ナナ / 困惑
10進数に直して足すのも、ありじゃないの？
アイリ / 決意
検算としてはあり。でも、2進数の加算そのものを読めないと、CPUの演算、補数、オーバーフローで詰まる。ここは逃げちゃだめ
ナナ / 決意
答えだけじゃなくて、どこで繰り上がったかを残さないといけない
ナナ / 困惑
え、10001なのに、4bitだと0001になるの？
アイリ / 決意
それが、次に来る危険。桁あふれ、オーバーフロー。今はまだ入口だけ覚えておいて
ナレーター
次の危険
答えが桁数を超えると、4bitでは上の1が落ちる。オーバーフローの影が入口に残る。
目標
この話でできるようになること
12進加算のcarryを処理できる
210進数で検算できる
32進数の加算ルールを説明できる
4carryを含む2進加算を筆算できる
510進数に戻して検算できる
6固定長bitでは桁あふれが問題になることを予告レベルで理解できる
場面ログ 会話で進んだ場面を確認する
逆読みレーダーが復旧した翌朝、ビットの街の北区画で小さな爆発が起きた。ナナが駆けつ…
逆読みレーダーが復旧した翌朝、ビットの街の北区画で小さな爆発が起きた。ナナが駆けつけると、そこには銀色の加算装置があった。装置の上には2本の入力ケーブルが伸びている。
入力A：1011₂
入力B：0110₂中央には赤い警告が点滅していた。
加算結果：異常
桁上がり処理：停止Bitが震えながら説明する。
「この装置は、街のエネルギーを足し合わせる回路です。でも、1と1を足したときの桁上がりが処理できなくなっています」
ナナは首をかしげた。
「1 + 1 って、2じゃないの？」
「10進数なら2です。でも2進数では、使える数字が0と1だけです。だから、1+1は2ではなく、桁上がりして10になります」
アイリが空中に基本ルールを書いた。
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10ナナは右端から計算を始める。
1011
+ 0110
------一番右は 1+0=1。 次の桁は 1+1=10。下に0を書き、左へ1を繰り上げる。装置の中で小さな火花が飛んだ。
次の桁は、
0 + 1 + 繰り上がり1 = 10また0を書き、左へ1を繰り上げる。 最後の桁は、
1 + 0 + 繰り上がり1 = 100を書き、さらに左へ1を繰り上げる。結果は、
10001₂その瞬間、加算装置は青く光った。 だが、すぐに黒いノイズが割り込んだ。
> 面倒だ。10進数に直して足せ。2進数の桁上がりなど覚える必要はない。
ナナは一瞬迷った。
「10進数に直して足すのも、ありじゃないの？」
アイリは頷いた。
「検算としてはあり。でも、2進数の加算そのものを読めないと、CPUの演算、補数、オーバーフローで詰まる。ここは逃げちゃだめ」
装置の横には過去ログが焼き付いていた。
誤答ログ：
1011 + 0110 = 1111
理由：1+1の桁上がりを無視ナナは胸が少し痛んだ。この間違いは、自分もやりそうだった。
「答えだけじゃなくて、どこで繰り上がったかを残さないといけない」
Traceが小さな紙テープを吐き出した。
carry: 0 → 1 → 1 → 1最後に、ナナは検算した。
1011₂ = 11
0110₂ = 6
11 + 6 = 17
10001₂ = 17一致。加算装置の火花は、暴走ではなく規則正しい光に変わった。 ただし装置の奥には、もう一つ警告が残っていた。
固定長4bitでの結果：0001
上位桁あふれを検出ナナは表情を曇らせた。
「え、10001なのに、4bitだと0001になるの？」
アイリは真剣な顔で答えた。
「それが、次に来る危険。桁あふれ、オーバーフロー。今はまだ入口だけ覚えておいて」
本文この装置は、街のエネルギーを足し合わせる回路です。でも、1と1を足したときの桁上がりが処理できなくなっています
本文1 + 1 って、2じゃないの？
本文10進数なら2です。でも2進数では、使える数字が0と1だけです。だから、1+1は2ではなく、桁上がりして10になります
火花の加算装置
北区画の加算装置が火花を散らす。1と1を足すときの桁上がりが、回路を止めている。
1 + 1 は 10₂
2進数で使える数字は0と1だけ。1+1は2を書かず、0を書いて左へ1を繰り上げる。
次の危険
答えが桁数を超えると、4bitでは上の1が落ちる。オーバーフローの影が入口に残る。
解法の要点
本当に必要な手順、例題、誤答の直し方だけ確認する
学習導入
この話で学ぶのは、2進数の加算です。 コンピュータは内部で2進数を使って計算するため、1+1=10₂ と繰り上がりを理解する必要があります。
解き方の手順
2進数で使える数字は0と1だけです。したがって、1より大きい値が出ると桁上がりします。
| 計算 | 結果 | 意味 |
|---|---|---|
| 0 + 0 | 0 | 何も立たない |
| 0 + 1 | 1 | 1が立つ |
| 1 + 0 | 1 | 1が立つ |
| 1 + 1 | 10 | 0を書き、1を繰り上げる |
| 1 + 1 + 1 | 11 | 1を書き、1を繰り上げる |
例：
1011
+ 0110
------
1000110進数で検算すると、
1011₂ = 11
0110₂ = 6
11 + 6 = 17
10001₂ = 17一致します。
固定長bitが指定されると、入りきらない上位桁があふれる場合があります。これは第2章の補数・オーバーフローで本格的に扱う。
解法手順
- 2つの2進数の桁を右揃えで書く
- 右端から計算する
- 基本ルールを使う
- 1+1 なら0を書いて1を左へ繰り上げる
- 繰り上がりがある列ではそれも足す
- 最後の繰り上がりが残ったら左端に書く
例題
問題
1011₂
+ 0110₂正しい和はどれか。
| 選択肢 | 値 |
|---|---|
| ア | 1111₂ |
| イ | 10001₂ |
| ウ | 10000₂ |
| エ | 10101₂ |
解説
右から計算する。 1+0=1, 1+1=10, 0+1+1=10, 1+0+1=10。 結果は 10001₂。
答え
イ
検算
1011₂ = 11
0110₂ = 6
11+6=17
10001₂=17なぜ他の選択肢が違うか
| 選択肢 | 10進数 | 不正解理由 |
|---|---|---|
ア 1111₂ | 15 | carry不足 |
イ 10001₂ | 17 | 正しい |
ウ 10000₂ | 16 | 右端の1が不足 |
エ 10101₂ | 21 | 繰り上がり位置が誤り |
例
答え: イ
誤答パターン
- 1+1=2 と書こうとする
- 2進数には2という1桁の数字はない。
- 繰り上がりを忘れる
- 1+1 は0を書いて1を左へ渡す。
- 繰り上がりを二重に足す
- 各列で「上段 + 下段 + carry」を明記する。
過去問接続
科目Aで直接効きます。また、第2章の補数、オーバーフロー、CPU演算への前提になります。 選択肢消去では10進数検算が有効。ただし固定長bitが指定されている場合は、上位桁が捨てられる可能性があるため問題文を必ず読む。
図で確認
試験中に自分で再現できる形へ落とし込む
binary
carry盤
使う重みをONにして、ONの合計が目標値になるか確認します。
イ 例題の答え手を動かす
読み終える前に、短い演習で理解を固定する
進数で `1+1` は何になるか。
- 問題文の条件を写す
- 図・表・重み・真理値のどれで読むか決める
- 答えを戻して検算する
進数で `1+1+1` は何になるか。
- 問題文の条件を写す
- 図・表・重み・真理値のどれで読むか決める
- 答えを戻して検算する
加算は左右どちらから行うか。
- 問題文の条件を写す
- 図・表・重み・真理値のどれで読むか決める
- 答えを戻して検算する
繰り上がりとは何か。
- 問題文の条件を写す
- 図・表・重み・真理値のどれで読むか決める
- 答えを戻して検算する
旅のメモ
次に残すメモ
12進数の加算ルールを説明できる
2carryを含む2進加算を筆算できる
310進数に戻して検算できる
科目Aで直接効きます。また、第2章の補数、オーバーフロー、CPU演算への前提になります。 選択肢消去では10進数検算が有効。ただし固定長bitが指定されている場合は、上位桁が捨てられる可能性があるため問題文を必ず読む。
確認
この話で持ち帰ること
12進数の加算ルールを説明できる
2carryを含む2進加算を筆算できる
310進数に戻して検算できる
4固定長bitでは桁あふれが問題になることを予告レベルで理解できる